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技術士第一次試験(機械部門)【専門_平成28年度_問題10】

こんにちは。

機械系エンジニアのメカエン@技術士(機械部門)です。

今回のテーマはこちらです。

技術士第一次試験(機械部門)
【専門_平成28年度_問題10】

なお問題の難易度については次のように考えています。とても個人的な意見ですので、あくまでご参考ということでご容赦願います^^

★☆☆☆☆ 【易】  5分以内で確実に正解したい!
★★☆☆☆ 【やや易】5分を超えるかも知れないが確実に正解したい!
★★★☆☆ 【標準】 50%以上の正答率にはなんとか正解したい!
★★★★☆ 【やや難】少し応用的な知識が必要!難しい!
★★★★★ 【難】  できなくてもしょうがない!とっても難しい!

平成28年度_問題10

両端を閉じた薄肉円筒圧力容器(半径r、肉厚t、r>>t)に内圧pが作用している。両端から十分離れた円筒部分における円周方向応力σ_θと軸方向応力σ_zの組合せとして、最も適切なものはどれか。

① σ_θ=\frac{pr}{2t}σ_z=\frac{pr}{2t}

 σ_θ=\frac{pr}{2t}σ_z=\frac{pr}{t}

 σ_θ=\frac{pr}{t}σ_z=\frac{pr}{2t}

 σ_θ=\frac{2pr}{t}σ_z=\frac{pr}{t}

 σ_θ=\frac{pr}{t}σ_z=\frac{2pr}{t}

◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

正答は③でした。

それでは解説です。

まず軸方向応力σ_zを求めます。

f:id:MechanicalEngineer:20190813103210p:plain

円筒にかかる力のつり合いを考える。

左向きには、軸方向応力σ_zが幅t、長さは円周分2\pi rにかかっていると近似的にみなせるので、下記となる。

左向きの力 2\pi rtσ_z

右向きには、内圧pが面積\pi r^2にかかっているので、

右向きの力 p\pi r^2

これらがつり合っているので、

2\pi rtσ_z=p\pi r^2

→ σ_z=\frac{pr}{2t}

次に円周方向応力σ_θを求めます。

f:id:MechanicalEngineer:20190813104406p:plain

円筒の幅bの部分の上半分のみを考えます。

円筒の幅bにかかる周方向の力が、円筒の内壁にかかる力の垂直方向の分力とつり合うことに着目します。

円筒の幅bにかかる周方向の力は、下向きに円周方向応力σ_θが、片側面積tbにかかり、これが左右で2か所あるので、下記となります。

下向きの力 2tbσ_θ

次に、上向きの力として円筒の内壁にかかる力の垂直方向の分力を考えます。微小角度dθの部分の内圧がかかる面積は、弧の長さがrdθ、幅がbなのでbrdθとなります。これに内圧pがかかり、その垂直方向の分力はsinθ倍されるので、微小角度dθの部分の垂直方向の分力は下記となります。

微小角度dθにかかる力の垂直成分 bprdθsinθ

これをθ=0からπまで積分したものが、上向きの力である円筒の内壁にかかる力の垂直方向の分力になるので、下記となります。

上向きの力 \int_0^\pi bprsinθdθ\\ =2bpr\int_0^\frac{\pi}{2}sinθdθ\\ =2bpr[-cosθ]_0^\frac{\pi}{2}\\=2bpr(0+1)\\=2bpr

下向きの力=上向きの力のつり合いより、

2tbσ_θ=2bpr

σ_θ=\frac{pr}{t}

 

《難易度》★★★★☆

《感想》初見で解くのはとても難しい問題だと思いますが、一度解いた問題であればなんとか正解できるのではないでしょうか。初見なら★5つだと思います。なお、σ_θ=2σ_zの関係を知っていれば、後半のσ_θはすぐに出てきます。

《参照キーワード集》 

技術士第一次試験(機械部門)専門キーワード集(材料力学)★随時更新中★ - 機械系エンジニアの技術士ストレート合格勉強法

 

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