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技術士第一次試験(機械部門)【専門_平成28年度_問題16】

こんにちは。

機械系エンジニアのメカエン@技術士(機械部門)です。

今回のテーマはこちらです。

技術士第一次試験(機械部門)
【専門_平成28年度_問題16】

なお問題の難易度については次のように考えています。とても個人的な意見ですので、あくまでご参考ということでご容赦願います^^

★☆☆☆☆ 【易】  5分以内で確実に正解したい!
★★☆☆☆ 【やや易】5分を超えるかも知れないが確実に正解したい!
★★★☆☆ 【標準】 50%以上の正答率にはなんとか正解したい!
★★★★☆ 【やや難】少し応用的な知識が必要!難しい!
★★★★★ 【難】  できなくてもしょうがない!とっても難しい!

平成28年度_問題16

下図の2自由度系には2つの固有各振動数が存在する。その組合せとして、最も適切なものはどれか。なおmは質量、kはばね定数を表すものとし、摩擦は考慮しなくてもよいものとする。

f:id:MechanicalEngineer:20190831130649p:plain

① \sqrt{\frac{k}{m}},\sqrt{\frac{k}{m}}(重根)

② \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}},2\sqrt{\frac{k}{m}}

③ \sqrt{\frac{k}{2m}},\sqrt{\frac{2k}{m}}

④ \frac{\sqrt{5}-1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}},\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}

 \sqrt{\frac{k}{m}},\sqrt{\frac{5k}{2m}}

◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

正答は③でした。

それでは解説です。

定石通り運動方程式を立てます。

質量とばね定数の行列を各々MKで次のようにおきます。

2k+kで3k、k+0でkです。

(参照キーワード集の「2自由度系の振動」を参照願います。)

f:id:MechanicalEngineer:20190831142613p:plain

運動方程式:Mx''+Kx=0  とおける。

x=Ae^{iωt} とおくと、x''=-ω^{2}x となるので、

運動方程式に代入して

(-ω^{2}M+K)x=0 

⇔  

f:id:MechanicalEngineer:20190831145115p:plain

今、Aは0でないので、上式の行列式=0となる。

(3k-2mω^2)(k-mω^2)-k^2=0

2k^2-5kmω^2+2m^2ω^4=0

(2mω^2-k)(mω^2-2k)=0

ω^2=\frac{k}{2m},\frac{2k}{m}

ω=\sqrt{\frac{k}{2m}},\sqrt{\frac{2k}{m}}

 

《難易度》★★★☆☆

《感想》難しそうに見えますが、実は定石の解法です。慣れれば簡単に解けるようになりますので、★3つです。行列を使用した方が簡単ですのでそうしましたが、2つの台車に各々運動方程式を適用してももちろん解けます。

《参照キーワード集》
技術士第一次試験(機械部門)専門キーワード集(制御)★随時更新中★

 

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