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技術士第一次試験(機械部門)【専門_平成28年度_問題7】

こんにちは。

機械系エンジニアのメカエン@技術士(機械部門)です。

今回のテーマはこちらです。

技術士第一次試験(機械部門)
【専門_平成28年度_問題7】

なお問題の難易度については次のように考えています。とても個人的な意見ですので、あくまでご参考ということでご容赦願います^^

★☆☆☆☆ 【易】  5分以内で確実に正解したい!
★★☆☆☆ 【やや易】5分を超えるかも知れないが確実に正解したい!
★★★☆☆ 【標準】 50%以上の正答率にはなんとか正解したい!
★★★★☆ 【やや難】少し応用的な知識が必要!難しい!
★★★★★ 【難】  できなくてもしょうがない!とっても難しい!

平成28年度_問題7

下図に示すように、円柱(長さl、断面積A_1、縦弾性係数E_1、線膨張係数α_1)と円筒(長さl、断面積A_2、縦弾性係数E_2、線膨張係数α_2)を同軸で組合せて、両端を剛体板で接合している。円柱と円筒の両方に応力が生じていない状態から、温度がΔTだけ上昇したとき、円柱と円筒の伸び量Δlとして、最も適切なものはどれか。

ただし、α_1<α_2とし、円柱と円筒の半径方向の変形は無視できるものとする。

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◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

正答は⑤でした。

それでは解説です。

 α_1<α_2ですので、円柱には引張り、円筒には圧縮の力が働いています。その力の大きさをPとします。

熱膨張による伸びλ_tは、λ_t=αΔTlであることと、フックの法則σ=Eεにおいて、σ=\frac{P}{A}ε=\frac{λ}{l}であることを、円柱、円筒各々に当てはめる。なお、圧縮力/引張り力による伸びはλ_Cで表す。

円柱に関しては添え字を1として、

λ_{1t}=α_1ΔTl

\frac{P}{A_1}=E_1\frac{λ_{1C}}{l} → λ_{1C}=\frac{Pl}{A_1E_1}

円筒に関しては添え字を2として、

λ_{2t}=α_2ΔTl

\frac{-P}{A_2}=E_2\frac{λ_{2C}}{l} → λ_{2C}=\frac{-Pl}{A_2E_2}

今、Δl=λ_{1t}+λ_{1C}=λ_{2t}+λ_{2C}の関係があるので、

α_1ΔTl+\frac{Pl}{A_1E_1}=α_2ΔTl-\frac{Pl}{A_2E_2}

P\frac{A_1E_1+A_2E_2}{A_1E_1A_2E_2}=(α_2-α_1)ΔT

P=\frac{A_1E_1A_2E_2}{A_1E_1+A_2E_2}(α_2-α_1)ΔT

よって、Pが求まったので、

Δl=λ_{1t}+λ_{1C}\\=α_1ΔTl+\frac{A_2E_2}{A_1E_1+A_2E_2}(α_2-α_1)ΔTl\\=\frac{α_1A_1E_1+α_2A_2E_2}{A_1E_1+A_2E_2}ΔTl

 

《難易度》★★★☆☆

《感想》計算量が多いですが頻出問題ですので、なんとか正解したい問題です。熱膨張による伸びと圧縮/引張りによる伸びの和が、円柱と円筒で等しくなるとするところがポイントです。

《参照キーワード集》

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